Una delle analisi possibili con la spettroscopia e’ la misura delle velocita’ radiali mediante lo spostamento Doppler. Abbiamo gia’ avuto modo di raccontare qualche esperienza, ad esempio l’osservazione della binaria Beta Aurigae in cui le velocita’ in gioco sono dell’ordine delle centinaia di Km/s e le righe spettrali delle due stelle che compongono il sistema si separano in modo assai evidente.
Stavolta ho voluto provare a misurare velocita’ decisamente piu’ piccole, quali quelle con cui orbitano i satelliti galileiani attorno a Giove. Parliamo di valori di pochi Km/s. Premetto che non avrei tentato questa osservazione se non si fosse resa disponibile una potentissima funzione del tool di riduzione dati, in grado di aumentare notevolmente la precisione delle misure. Lo strumento infatti e’ sempre lo stesso (Lhires III), cio’ che cambia e’ il metodo con cui si analizzano gli spettri. Parlo della funzione di cross-correlation (CCF) inclusa in tempi recenti nel pacchetto ISIS di Christian Buil.
In pratica, anziche’ misurare la lunghezza d’onda di una singola riga dei due spettri per poi valutare lo spostamento Doppler, la CCF lavora su tutto lo spettro. La sua misura, fatta sulla base di un grande numero di righe, e’ notevolmente piu’ precisa. ISIS restituisce direttamente lo spostamento Doppler in termini di velocita’ radiale relativa dei due spettri di input.
Nel seguente topic, Lorenzo descrive cosa e’ possibile fare con questa funzione, applicandola a spettri a bassa risoluzione:
viewtopic.php?f=22&t=3722
Veniamo adesso all’esperienza con i satelliti di Giove. La prima osservazione e’ del 5 maggio 2016, il target principale Io. Ho usato il reticolo da 1200 l/mm che offre una buona risoluzione spettrale e consente di registrare uno spettro con un sufficiente SNR in breve tempo (rispetto al reticolo da 2400 l/mm), un vantaggio per la stabilita’ dello strumento durante le riprese. Il range scelto, nella regione del verde (tra h-beta e tripletto del magnesio), comprende parecchie righe di assorbimento ben marcate.
Un tipico spettro:
Ho poi osservato Giove, con la fenditura che attraversa il centro del disco (entro i limiti dell’inseguimento e della turbolenza). Il suo spettro funge da riferimento per la misura dello spostamento Doppler.
La riduzione dello spettro, soprattutto per quanto riguarda la calibrazione in lunghezza d’onda, e’ stata particolarmente curata. Tipicamente, la calibrazione si appoggia ad uno spettro della lampada di riferimento ottenuto sommando (o mediando) due frame presi all’inizio e alla fine della sequenza osservativa. Ad esempio, una normale sequenza e’ la seguente:
lampada calib inizio
satellite-1
satellite-2
satellite-3
…
lampada calib fine
Per questa osservazione invece ho preso uno spettro della lampada anche fra i vari frame:
lampada cal inizio
satellite-1
lampada cal1
satellite-2
lampada cal2
satellite-3
…
lampada cal fine
Questo ha permesso di calibrare il profilo estratto da ogni singolo frame. Ad esempio il frame satellite2 e’ stato calibrato usando la somma degli spettri lampada cal1 e lampada cal2. La combinazione di tali profili ha prodotto infine il profilo spettrale del satellite Io. E’ un analogo dell classico stacking delle immagini fotografiche, applicato pero’ ai profili spettrali.
La procedura serve a minimizzare gli effetti delle flessioni termoelastiche a cui e’ soggetto lo spettroscopio. Consente anche di fare un minimo di statistica grazie all’uso di un numero maggiore di spettri della lampada di riferimento.
Lo spettro di Giove invece e’ stato processato in modo classico (il primo esempio fatto) dato che la sua integrazione e’ stata molto breve (12 x 5s).
I profili spettrali del satellite e del pianeta sono stati dati in pasto alla funzione di cross-correlation, che ha restituito un valore di velocita’ radiale relativa pari a -33.7 Km/s:
La velocita’ radiale del satellite rispetto a Giove diventa quindi: -33.7/1.986 = 17.0 Km/s.
Se consideriamo che Io era prossimo alla sua massima elongazione dal pianeta, il valore appare realistico in quanto sappiamo dalla letteratura che orbita con una velocita’ media di 17.3 Km/s.
Un primo esercizio didattico riguarda la stima della massa di Giove. Mettiamo di osservare il moto periodico del satellite Io e ricavare il periodo orbitale (dedotto ad esempio sulla base del momento di massima elongazione e quello del transito al centro del pianeta), poi osservare il satellite al momento della elongazione massima e il pianeta con lo spettroscopio per ricavare la velocita’ orbitale. Avremmo due dati che, grazie alla formula della gravitazione universale di Newton e supponendo un’orbita circolare, permettono di calcolare la massa del pianeta.
Dal periodo e la velocita’ ricaviamo il raggio dell’orbita:
r = v x P / pigreco /2
Con v = 17 Km/s e P = 152842 s (42,456 ore) abbiamo:
r = 413533 Km
La massa di Giove si deriva con:
M = v^2 x r / G
Con G = 6.67 x 10^-11 m^3/Kg/s^2 (la costante di gravitazione universale) ed esprimendo in metri r = 413533000 e in metri al secondo v = 17000, otteniamo:
M = 1.79 x 10^27 Kg
Il dato ufficiale per la massa di Giove e’ 1,898 x 10^27 Kg. Siamo riusciti a stimare la massa del pianeta con un errore del 5% circa.
Off-topic: la terra ha una velocita’ orbitale media di 29,78 Km/s, il periodo e’ assai noto! Con la stessa procedura e’ possibile ricavare la massa del Sole. Provare per credere!
Lo scenario piu’ ampio e’ il seguente:
Dal momento che anche la Terra si muove lungo la sua orbita, dobbiamo tenere conto della componente del moto lungo la linea di vista (26.2 Km/s). Questa si calcola con la funzione per la correzione eliocentrica, fornendo la data e le coordinate AR/Dec:
Due soli numeri pero’ non fanno statistica. Per capire se le misure sono affidabili e per cercare di associare una incertezza alle misure, ho ripetuto questo tipo di osservazione, questa volta includendo tutti i satelliti di Giove (per fare una buona statistica credo che servirebbe un numero ancora maggiore di osservazioni).
La seconda sessione osservativa e’ del 21 maggio quando il sistema aveva la seguente configurazione:
Il parametro rdot rappresenta la componente della velocita’ del satellite rispetto al Sole lungo la direzione Sole-satellite. Su questo “percorso di andata” della luce avviene il primo shift Doppler. Cioe’ lo spettro del Sole visto dal satellite subisce uno spostamento dovuto principalmente al moto orbitale del satellite.
Il parametro deldot, allo stesso modo, e’ la componente della velocita’ del satellite stavolta rispetto all’osservatore sulla Terra (lungo la direzione target-osservatore). Anche sul “percorso di ritorno”, dopo la riflessione sulla superficie del satellite, si opera un altro shift Doppler, principalmente dovuto al moto orbitale del satellite e a quello della Terra.
Lo spostamento Doppler totale, cioe’ quello che ha impatto sullo spettro che osserviamo a Terra, e’ prodotto dalla somma algebrica delle due velocita’ radiali: rdot + deldot. Questa grandezza e’ confrontabile direttamente con le nostre misure.
Considerando lo shift rispetto allo spettro di Giove, le differenze con le effemeridi sono riassunte nella seguente tabella:
In generale l’errore e’ comunque abbastanza piccolo, mediamente siamo intorno a 1.6 Km/s. Bisogna considerare che a tale velocita’ corrisponde uno spostamento Doppler di soli 0,027A (sui 5000A) oppure 0.07 pixel alla dispersione impiegata (0,364 A/pix).
La fluttuazione statistica che non tiene conto di eventuali offset ma solo dello scostamento in lunghezza d’onda dei singoli profili (sub-esposizioni) rispetto al profilo medio e’ molto contenuta. Come ho specificato all’inizio del topic, ogni singolo profilo e’ stato calibrato in modo indipendente (o quasi) grazie allo spettro della lampada preso prima e dopo. Potrebbe quindi avere senso mettere a confronto il profilo finale, somma dei singoli profili, con questi ultimi. Un esempio:
Concludendo… tutto questo e’ possibile grazie alla potentissima funzione di cross-correlation di ISIS. E’ impensabile ottenere una simile accuratezza misurando una sola riga di questi spettri. Da tenere sempre a mente che il requisito principale per il corretto utilizzo della CCF e’ il buon rapporto segnale/rumore dei profili che si confrontano, in mancanza del quale la correlazione segue anche il rumore portando a errori molto piu’ grandi. La verifica dell’incertezza effettiva delle misure richiede secondo me ulteriori osservazioni mirate (come ad esempio seguire una stella durante una intera notte e verificare gli scostamenti Doppler tenendo conto della correzione eliocentrica). Piccoli problemi possono essere introdotti dal posizionamento del target in fenditura (qui possono rientrare problemi di flessioni meccaniche) ma anche una sua non perfetta illuminazione da parte della lampada di calibrazione.
Spero di non aver commesso errori. Segnalatemi qualunque problema o consiglio!
Paolo
Adesso non ho parole! In seguito di darò un consiglio!.... - Umberto
