Il potere risolvente teorico di un reticolo e' definito dal parametro (adimensionale) R che vale N x P, dove N e' il numero di tratti per millimetro e P e' la larghezza del reticolo nella direzione perpendicolare alla direzione dei tratti (consideriamo per semplicita’ lo spettro di ordine 1, per il quale e’ ottimizzato lo Star Analyser 100). Questa moltiplicazione fornisce semplicemente il numero di tratti totale che, nel caso del reticolo SA100, vale 100 x 26 = 2600 (l'area utile misura 26 mm di diametro). Partendo da questo valore possiamo calcolare la separazione minima che devono avere due righe adiacenti, di uguale intensita', per essere apprezzate come distinte: delta_lambda = lambda / R. Ad esempio nella regione del doppietto del sodio (circa 5890 Angstrom) abbiamo delta_lambda = 5890 / 2600 cioe' 2.3 Angstrom. Il doppietto e' composto da due righe che distano 5.9 A per cui il nostro filtro, se le righe avessero un contrasto con il fondo continuo sufficiente, dovrebbe in teoria permetterne la separazione.

In pratica le cose vanno diversamente per una serie di motivi. Il primo riguarda la larghezza effettiva del reticolo. Il fascio di luce convergente non investe l’intera sua superficie. I tratti del reticolo fuori dal fascio di luce non concorrono alla formazione dello spettro per cui il potere risolvente e’ piu’ basso. Nel caso di un telescopio con rapporto focale f/10, con il reticolo interposto ad esempio a 40 mm dal fuoco (tiraggio), la sezione del fascio che illumina il reticolo ha un diametro di 40 / 10 (tiraggio / rapporto focale), ovvero 4 mm. Il numero di righe “bagnato” dalla luce di una stella e' ridotto a 100 x 4 per cui il potere risolvente vale adesso solo 400. La capacita’ di separazione di due righe adiacenti diventa 5890 / 400, pari a 14.7 Angstrom e l'ipotesi del doppietto del sodio vista sopra va a farsi friggere (non si riuscirebbe a risolvere e si vedrebbe al limite come una sola riga).

Non e' tutto. Ci sono da considerare anche aberrazioni tra cui il coma cromatico (dipendente dalla lunghezza d'onda ed inversamente proporzionale al rapporto focale F/D), l’astigmatismo e le aberrazioni dovute alla curvatura di campo (lo spettro non e' piano ma cilindrico). Infine, ma fondamentale, ogni caratteristica spettrale non puo' essere piu' piccola dell'immagine stellare che genera lo spettro. In altre parole se la turbolenza atmosferica allarga molto l'immagine della stella oppure se si commette un errore di messa a fuoco, la risoluzione spettrale si abbassa ulteriormente. Il contributo delle aberrazioni puo' essere ridotto utilizzando un apposito prisma accoppiato al reticolo (il sistema e' denominato GRISM) che per una data lunghezza d'onda e' in grado di azzerare il coma cromatico. Inoltre non riusciremo mai ad avere perfettamente a fuoco tutto lo spettro, dal violetto all'infrarosso, per cui bisogna tenere conto che la risoluzione di un singolo spettro e' variabile a seconda della lunghezza d'onda. I problemi descritti  possono abbassare notevolmente la risoluzione, specie in alcune regioni spettrali. In ogni caso siamo ben lontani dai 2.3 Angstrom previsti sulla base del potere risolvente massimo del reticolo.

Per quanto visto e’ importante distinguere tra potere risolvente, una proprieta’ del reticolo, e la risoluzione effettiva spettrale, dipendente dalle caratteristiche ottiche e meccaniche di tutto il sistema.

Dopo tante chiacchiere... cosa possiamo fare per conoscere i limiti reali del nostro sistema? Naturalmente sperimentare: acquisire gli spettri e valutare direttamente i risultati.

Per stimare la risoluzione effettiva del sistema misuriamo sullo spettro la larghezza di una riga o banda spettrale la cui ampiezza reale e' al di sotto della capacita' strumentale.. In pratica viene usato il parametro FWHM, ovvero la larghezza del profilo di una riga spettrale espresso in Angstrom, che ci viene calcolato dal software che analizza lo spettro. Come per gli usuali test strumentali in campo ottico possiamo servirci di una stella artificiale di facile realizzazione "casalinga"'. La stella artificiale deve essere sufficientemente piccola e posta ad una certa distanza dal telescopio in modo da essere certi di registrare sul piano focale un’ immagine dominata principalmente da fenomeni di diffrazione.

Che stella vogliamo creare? Una Be, una supernova, un tipo A0, G2v? Scherzo... (anche se quella G2v si potrebbe anche fare sfruttando la luce del Sole…). Ci risulta piu' utile una luce con righe di emissione nette e sottili, quindi la lampada da mettere dietro al foglio di carta di alluminio con microscopici forellini realizzati con la punta di un ago, potra’ essere di tipo a fluorescenza (comune lampada a basso consumo), ottenendo un risultato simile a questo:

Ho creato una fila verticale di forellini di vario diametro in modo da poter scegliere il piu' opportuno. Conviene lavorare sui piu’ piccoli, cioe’ quelli che non si presentano sul piano focale allargati oltre la figura di diffrazione.

Questa immagine, invece, e' ottenuta simulando un'errore grossolano di sfocatura:

Si apprezza quanto detto prima, ovvero che le caratteristiche spettrali sono estese almeno quanto la sorgente che le produce.

Per la sessione di prove descritta in seguito ho variato la distanza reticolo-sensore. Sul manuale operativo del reticolo SA100 viene consigliato di non scendere sotto un valore pari a 4 volte la dimensione del pixel del sensore espresso in micron. Con pixel di 6.4 micron il reticolo andrebbe messo ad una distanza uguale o superiore a 6.4 x 4 = 25.6 mm dal sensore per evitare una eccessiva perdita di risoluzione. Aumentando questa distanza la risoluzione migliora ma oltre un certo limite il guadagno si riduce e soprattutto lo spettro (ordine 1) e l'immagine della stella che lo produce (ordine 0) si distanziano cosi' tanto da non entrare piu' insieme nel campo. Dal punto di vista pratico la cosa e' problematica perche' risulta poi difficile selezionare il target. Inoltre bisogna tener conto anche di un fattore che puo' essere cruciale: lo spettro "stirato" su una maggiore superficie risulta meno luminoso.

Passiamo alle immagini ed alle misure. Questi sono i risultati che ho ottenuto variando la distanza reticolo-sensore:

(versione a pieno formato: http://quasar.teoth.it/images/stories/spettri_2d_full.jpg)

Dopo aver creato i profili spettrali con Visual Spec, ho misurato il parametro FWHM della riga del mercurio nel blu-violetto a 4358 Angstrom (la messa a fuoco in fase di ripresa e' stata curata su questa riga minimizzando i problemi introdotti dalla curvatura di campo e dal coma cromatico che e' meno evidente a queste lunghezze d'onda), ottenendo i valori riassunti nella seguente tabella:

Possiamo considerare infinitesima la larghezza reale della riga del mercurio, in ogni caso di gran lunga piu' sottile di quanto uno spettroscopio, anche piu' sofisticato del nostro semplice reticolo, possa apprezzare. Sullo spettro registrato invece essa ha una grandezza finita e misurabile. La sua immagine sul piano focale e' allargata per i "problemi strumentali" accennati prima, per cui la misura della larghezza di una riga diviene un indice di qualita' dello spettro. Assumiamo allora la FWHM come limite di risoluzione.

I dati mostrano come la FWHM si riduca con l'aumentare del tiraggio. Si passa da 25.1 Angstrom con T=45mm a 14.1 A con T=105. In questo grafico vediamo sovrapposti i quattro profili, assimilabili a gaussiane di larghezza differente:

La migliore risoluzione in condizioni di tiraggio maggiore e' evidente anche osservando gli spettri bidimensionali. Di seguito e' mostrato un raffronto dei profili con tiraggio mimino e massimo. Nella regione verde dello spettro si osservano le righe del mercurio (5461 A) e del terbio (5435 A che in realta' e' una banda di una certa larghezza) e nel giallo una serie di righe piu' deboli probabilmente operate dal terbio:

Infine nella tabella sopra e' riportato anche il rapporto segnale/rumore (SNR) di una caratteristica spettrale estesa (una banda larga) centrata a circa 4870 A. Il parametro SNR diminuisce con l'aumentare del tiraggio, passando da 128 con T=45mm a soli 49 con T=105mm.

Quali sono le conclusioni di questa esperienza? Con riferimento alla risoluzione sembra senz’altro conveniente aumentare al massimo il tiraggio, compatibilmente con la luminosita' del soggetto. Il miglioramento della risoluzione segue l’andamento teorico ed e’ dovuto al fatto che il reticolo e’ “bagnato” da un fascio di luce sempre piu’ ampio man mano che viene posto ad una distanza maggiore dal sensore, con un conseguente un aumento del potere risolvente. Ma non e’ tutto, c’e’ un altro aspetto molto importante da considerare. Per la ripresa di questi spettri ho utilizzato una sorgente artificiale che mi ha permesso di effettuare un’esposizione brevissima a montatura ferma. Inoltre, essendo vicina, non ha subito gli effetti della turbolenza atmosferica. Nei casi reali in cui viene ripresa una stella di debole luminosita’, bisogna fare i conti con gli inevitabili (anche se piccoli) errori di inseguimento della montatura durante l’esposizione e lo sparpagliamento dell’immagine stellare operato dall’atmosfera. Quest’ultima condizione e' molto frequente quando si utilizza il reticolo con ottiche di lunga focale (es. 2000 mm). Il concorso di queste cause porta ad un allargamento della sorgente e di conseguenza ad un deterioramento della risoluzione spettrale. L’unico rimedio per problemi del genere e’ appunto l’aumento della dispersione lineare, ottenibile semplicemente aumentando la distanza del reticolo dal sensore.

Avendo un'idea dei risultati attesi si puo' pianificare il tiraggio piu' conveniente. Se ad esempio si volesse misurare il redshift di un Quasar come questo:

http://quasar.teoth.it/images/stories/Quasar_PG/index.htm

che presenta uno spostamento verso il rosso di ben 627 Angstrom (riga h-alfa) ed una magnitudine di 14.4, e' senz'altro conveniente minimizzare il tiraggio per aumentare il rapporto s/r, rimanendo sempre con un grosso margine di risoluzione. Laddove invece il soggetto e' luminoso, il tiraggio massimo permette di avere la migliore leggibilita' delle righe, specie se ve ne fossero di ravvicinate.

Il calcolo della velocita' di espansione dei gas di una nova si effettua misurando l’allargamento di una riga, tipicamente in emissione, per effetto Doppler. Viene usata la formula v = SQR(FWHM_target^2 - FWHM_strumentale^2) / lambda x c. FWHM_target e’ la larghezza di una riga misurata sullo spettro del soggetto mentre FWHM_strumentale e’ la larghezza di una riga di “laboratorio”, misurata nel modo visto sopra. Naturalmente entrambe dovrebbero far riferimento ad una lunghezza d’onda similare.

Per ottenere una misura sufficientemente affidabile si intuisce che il target deve esibire righe piu’ allargate di quella strumentale. Possiamo fissare allora un limite minimo, pari a FWHM_strumentale / lambda * c. Nel nostro esempio, per la riga a 4358 A ampia 14.1 Angstrom, questo limite vale 14.1 / 4358 x 300000 = 970 Km/s. In molte novae sono state osservate velocita' di espansione superiori, tipicamente 3000-5000 Km/s. Se le misure vengono effettuate sulla riga alfa dell'idrogeno (nel rosso) bisogna mettere in conto un certo deterioramento del potere risolutivo a causa del coma cromatico.

Al di la’ di esempi come questi, il consiglio e’ senz’altro quello di documentarsi il piu’ possibile riguardo le caratteristiche dei target per un’analisi spettroscopica. Il web e’ un'immensa fonte e non e’ difficile riuscire a trovare le corrette informazioni. Sapere che la differenza di velocita’ radiale tra le due componenti del primo sistema binario scoperto con lo spettroscopio, Mizar A nella costellazione dell’Orsa Maggiore, non supera i 200 Km/s ci mette al riparo da eventuali delusioni nell’uso del reticolo, visto che non puo’ apprezzare velocita’ radiali inferiori al migliaio di Km/s.

Questo breve scritto e’ incentrato sulla risoluzione, parametro importante ma non sempre  fondamentale. Un reticolo a bassa risoluzione puo’ essere usato anche per verifiche qualitative come ad esempio il riconoscimento di novae e supernovae. Subito dopo la scoperta si attende sempre la conferma spettroscopica. Le principali caratteristiche spettrali, come il fortissimo incremento di intensita’ della riga dell’idrogeno alfa sono apprezzabili anche con un semplice reticolo come lo Star Anlyser 100. Se poi il target e’ molto debole, il reticolo trova il suo miglior campo di applicazione.

Paolo Berardi, 20 dicembre 2010